Integralrechnung

Die Integralrechnung ist ein Zweig der Infinitesimalrechnung und bildet mit der Differentialrechnung die mathematische Analysis. Sie ist aus der Aufgabe entstanden, Flächeninhalte oder Volumina zu berechnen, die durch gekrümmte Linien bzw. Flächen begrenzt sind. Unter dem Oberbegriff Integral werden das unbestimmte und das bestimmte Integral einer Funktion zusammengefasst. Die Berechnung von Integralen heißt Integration.

• Das bestimmte Integral einer Funktion ${\displaystyle f}$ ergibt eine Zahl. Ist ${\displaystyle f}$ eine reelle Funktion einer reellen Variablen ${\displaystyle x}$, die im ${\displaystyle xy-}$Koordinatensystem in einem Intervall von ${\displaystyle a\leq x\leq b}$ durch einen Graphen dargestellt ist, dann gibt das bestimmte Integral den Inhalt der Fläche an, die in diesem Intervall zwischen dem Graphen und der ${\displaystyle x}$-Achse liegt. ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ werden als Integrationsgrenzen bezeichnet. Falls Flächenstücke unterhalb der ${\displaystyle x}$-Achse vorkommen, werden diese hierbei negativ gezählt. Diese Vorzeichenkonvention wird gewählt, damit das bestimmte Integral eine lineare Abbildung vom Raum der Funktionen in den Zahlenraum ist, was sowohl für theoretische Überlegungen als auch für konkrete Berechnungen eine zentrale Eigenschaft des Integralbegriffs darstellt. Auch wird so sichergestellt, dass der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt.

• Das unbestimmte Integral einer Funktion ${\displaystyle f}$ ist eine Funktion ${\displaystyle F}$ , deren erste Ableitung gerade die ursprüngliche Funktion ${\displaystyle f}$ ist. ${\displaystyle F}$ wird als Stammfunktion der Funktion ${\displaystyle f}$ bezeichnet. Addiert oder subtrahiert man zu ${\displaystyle F}$ eine beliebige Zahl, erhält man wieder eine Stammfunktion von ${\displaystyle f}$. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gibt Auskunft darüber, wie mithilfe von unbestimmten Integralen bestimmte Integrale berechnet werden können.

Insoweit sind Integration und Differentiation Umkehrungen voneinander. Im Gegensatz zur Differentiation existiert für die Integration auch elementarer Funktionen aber kein einfacher und kein alle Fälle abdeckender Algorithmus. Integration erfordert trainiertes Raten, das Benutzen spezieller Umformungen (Integration durch Substitution, partielle Integration), Nachschlagen in einer Integraltafel oder das Verwenden spezieller Computer-Software. Oft erfolgt die Integration nur näherungsweise mittels numerischer Quadratur.