Logarithmus

Logarithmische Skaleneinteilung eines Rechenschiebers (Detail)

In halblogarithmischer Auftragung (in Bezug auf die x-Achse) wird der Graph der Logarithmusfunktion zu einer Geraden. Hier beispielhaft dargestellt für den Logarithmus zur Basis 10.

Als Logarithmus (Plural: Logarithmen; von altgriechisch λόγος lógos, „Verständnis, Lehre, Verhältnis“, und ἀριθμός, arithmós, „Zahl“) einer Zahl bezeichnet man den Exponenten, mit dem eine vorher festgelegte Zahl, die Basis, potenziert werden muss, um die gegebene Zahl, den Numerus, zu erhalten. Logarithmen sind zunächst nur für positive reelle Zahlen definiert, auch die Basis muss positiv – und von 1 verschieden – sein.

Der Logarithmus einer positiven reellen Zahl $x$ zur Basis $b$ ist also der Wert des Exponenten, wenn $x$ als Potenz zur Basis $b$ dargestellt wird, also diejenige Zahl $y$ , welche die Gleichung $b^{y}=x$ löst. Man schreibt $y=\log _{b}(x)$ ; weitere Notationen siehe Bezeichnungen. Das Logarithmieren, d. h. der Übergang von $x$ zu $\log _{b}(x)$ , ist damit eine Umkehroperation des Potenzierens. Die Funktion, die bei gegebener fester Basis $b$ jeder positiven Zahl ihren Logarithmus zuordnet, nennt man Logarithmusfunktion zur Basis $b$ .

Mit Logarithmen lassen sich sehr stark wachsende Zahlenreihen übersichtlich darstellen, da der Logarithmus für große Zahlen viel langsamer steigt als die Zahlen selbst. Wie die Gleichung $\log _{b}(x\cdot y)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)$ zeigt, kann man durch Logarithmieren eine Multiplikation durch die viel weniger rechenintensive Addition ersetzen. Auch beschreiben Logarithmen auf mathematisch elegante Weise viele technische Prozesse sowie Phänomene der Natur wie etwa das Verhalten einer Halbleiter-Diode, die Spirale eines Schneckenhauses oder die Wahrnehmung unterschiedlicher Lautstärken durch das menschliche Ohr.

Entsprechende mathematische Berechnungen sind bereits aus der Zeit vor Christi Geburt aus Indien überliefert. Der Begriff Logarithmus wurde von John Napier im frühen 17. Jahrhundert geprägt. Napier zu Ehren wird der Natürliche Logarithmus (s. u.) manchmal auch Napierscher Logarithmus oder Neperscher Logarithmus genannt.