Ordnungsrelation

Ordnungsrelationen sind in der Mathematik Verallgemeinerungen der „kleiner-gleich“-Beziehung. Sie erlauben es, Elemente einer Menge miteinander zu vergleichen.

Eine Ordnungsrelation ist formal eine zweistellige Relation

${\displaystyle R\subseteq M\times M}$

auf einer Menge ${\displaystyle M}$ mit bestimmten unten aufgeführten Eigenschaften, worunter immer die Transitivität ist.

Ist eine Menge ${\displaystyle M}$ mit einer Ordnungsrelation ${\displaystyle R}$ gegeben, dann nennt man das Paar ${\displaystyle (M,R)}$ eine geordnete Menge. Meist bevorzugt man an Stelle der Schreibweise ${\displaystyle (a,b)\in R}$ die sogenannte Infix-Notation ${\displaystyle a\,R\,b}$. Außerdem wird für Ordnungsrelationen nur selten ein Symbol wie ${\displaystyle R}$ verwendet. Stattdessen verwendet man häufig Symbole wie ${\displaystyle \leq }$, ${\displaystyle \preceq }$ oder ähnliche. Die Schreibweisen ${\displaystyle a<b}$ oder ${\displaystyle a\prec b}$ verwendet man als Abkürzung für „${\displaystyle a\leq b}$ und ${\displaystyle a\neq b}$“ oder „${\displaystyle a\preceq b}$ und ${\displaystyle a\neq b}$“.

Es folgt eine Auflistung verschiedener Arten von Ordnungsrelationen mit Beispielen. Für Definitionen der Eigenschaften siehe transitiv, reflexiv und irreflexiv, asymmetrisch, antisymmetrisch, oder den Artikel Relation (Mathematik).