Potenz (Geometrie)

Der Begriff Potenz bezeichnet in der Geometrie ein spezielles, von Jakob Steiner 1826 eingeführtes Maß dafür, wie weit außerhalb oder innerhalb eines Kreises sich ein Punkt befindet^[1]. Die Potenz eines Punktes ${\displaystyle P}$ bezüglich eines Kreises ${\displaystyle k}$ mit Mittelpunkt ${\displaystyle M}$ und Radius ${\displaystyle r}$ ist die reelle Zahl

${\displaystyle \Pi (P)=|PM|^{2}-r^{2}.}$

Falls ${\displaystyle P}$ außerhalb des Kreises liegt, ist ${\displaystyle \Pi (P)>0}$ und gleich dem Quadrat der tangentialen Distanz ${\displaystyle |PT|}$ von ${\displaystyle P}$ zum Kreis ${\displaystyle k}$ (siehe Bild). Dies folgt aus dem Satz des Pythagoras.
Falls ${\displaystyle P}$ auf dem Kreis liegt, ist ${\displaystyle \Pi (P)=0}$.
Falls ${\displaystyle P}$ innerhalb des Kreises liegt, ist ${\displaystyle \Pi (P)<0}$.

Steiner benutzte die Potenz eines Kreises, um zahlreiche Aussagen über Kreise und Kugeln zu beweisen. Z.B.:

• Bestimmung eines Kreises, der vier vorgegebene Kreise unter dem gleichen Winkel schneidet^[2].
• Lösung des Apollonischen Problems
• Konstruktion der Malfatti-Kreise^[3]: Bestimme zu einem Dreieck drei Kreise, die sich gegenseitig berühren und jeweils zwei Seiten berühren.
• Sphärische Version des Malfatti Problems^[4]: Bestimme zu einem sphärischen Dreieck drei Kreise, die sich gegenseitig berühren und jeweils zwei Seiten des Dreiecks berühren.
• Auf einer Quadrik^[5]: Bestimme zu drei ebenen Kurven auf einer Quadrik drei weitere ebene Kurven, die sich gegenseitig berühren und jeweils zwei der gegebenen Kurven berühren.

Als wesentliches Hilfsmittel verwendet Steiner Ähnlichkeitspunkte und die gemeinschaftliche Potenz zweier Kreise.

Der Begriff Potenz bezüglich eines Kreises lässt sich auf den Raum als Potenz einer Kugel übertragen.

1. ↑ Jakob Steiner: Einige geometrische Betrachtungen, 1826, S. 164
2. ↑ Steiner, S. 163
3. ↑ Steiner, S. 178
4. ↑ Steiner, S. 182
5. ↑ Steiner, S. 182