Stellenwertsystem

Ein Stellenwertsystem, Positionssystem oder polyadisches Zahlensystem ist ein Zahlensystem, dessen Zahlzeichen aus Ziffern besteht, deren jeweiliger Beitrag zum Gesamtwert der Zahl von ihrer Position innerhalb des Zahlzeichens abhängt. Beispielsweise trägt im weitverbreiteten Zehnersystem bei einer Zahl mit dem Zahlzeichen „127“ die Ziffer „1“ den Wert 1 · 100 zum Zahlenwert bei, dazu addiert sich für die Ziffer „2“ der Wert 2 · 10 sowie für die Ziffer „7“ der Wert 7 · 1. Die Ziffern „1“, „2“ und „7“ besitzen jeweils ihren Ziffernwert, tragen aber zum Zahlenwert mit einem Gewicht bei, das davon abhängt, an welcher Position sie im Zahlzeichen stehen.

Wenn der Ziffernvorrat des Stellenwertsystems aus ${\displaystyle b}$ Schriftzeichen besteht, dann gilt für das Zehnersystem mit der Ziffernvorrat von „0“ bis „9“ die Anzahl ${\displaystyle b=10}$. Für Zahlen mit einem Wert größer als die höchstwertige Ziffer (im Beispiel die „9“) werden keine weiteren Ziffern geschaffen, sondern der Stelle oder Position, die von einer Ziffer belegt ist, wird eine weitere Stelle vorangestellt. Die Ziffer auf der zusätzlichen Stelle wird aus demselben Vorrat entnommen, wird aber um den Faktor ${\displaystyle b}$ höher gewichtet. Dadurch bekommt jede Stelle einen Wert, ihren Stellenwert; durch den Faktor wird er größer als eins. Für jede weitere erforderliche Stelle erhöht sich ihr Stellenwert um einen weiteren Faktor ${\displaystyle b}$. Damit ergibt sich der Wert ${\displaystyle Z}$ einer dreistelligen natürlichen Zahl aus ihren drei Ziffernwerten ${\displaystyle a_{2}}$, ${\displaystyle a_{1}}$ und ${\displaystyle a_{0}}$ zu

${\displaystyle Z=a_{2}\cdot b^{2}+a_{1}\cdot b^{1}+a_{0}\cdot b^{0}}$.

Bei dem systembedingt endlichen Vorrat an Ziffern hängt die Anzahl der für ein Zahlenzeichen erforderlichen Stellen logarithmisch von der Größe der dargestellten Zahl ab – im Unterschied zu Additionssystemen, bei denen dieser Zusammenhang (asymptotisch zu großen Zahlen hin, jenseits der höchstwertigen Ziffer) linear ist.