Integral de Gauss

En matemáticas, la integral de Gauss, integral gaussiana o integral de probabilidad, es la integral impropia de la función gaussiana ${\displaystyle f(x)=e^{{-x}^{2}}}$ sobre toda la recta de los números reales. Debe su nombre al matemático y físico alemán Carl Friedrich Gauss, y su valor es:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}}$

Esta integral tiene amplias aplicaciones, incluyendo normalización, en teoría de la probabilidad y transformada continua de Fourier. También aparece en la definición de la función error. No existe ninguna función elemental para la función error, como se puede demostrar mediante el algoritmo de Risch, por lo que la integral Gaussiana no puede ser resuelta analíticamente con las herramientas del cálculo. O sea, no existe una integral indefinida elemental para

${\displaystyle \int e^{-x^{2}}\,dx}$

pero sí es posible evaluar la integral definida

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx}$.