Teorema de Euler para poliedros

El teorema de Euler para poliedros es un teorema matemático de la geometría del espacio, Leonhard Euler en 1750, y publicado en la obra "Elementa doctrinae solidorum" en 1758. El teorema indica la relación entre el número de caras, aristas y vértices de un poliedro convexo sin orificios, ni entrantes.^[1]​ Expresa una constante que no se altera en caso de rotaciones, traslaciones de dichos poliedros. En la proposición también concluye que solo pueden ser cinco los sólidos regulares y establece para ellos varias relaciones:

Detrás de la fórmula está el concepto topológico de la característica ${\displaystyle \chi }$ de Euler-Poincaré. La fórmula del poliedro de Euler es el caso especial para ${\displaystyle d=3}$ (tres dimensiones) con descuido implícito de ${\displaystyle Z=1}$ (siempre consideramos un solo cuerpo) entonces resulta un ${\displaystyle \chi _{E}=2}$:

${\displaystyle \chi _{E}=V-A+C\qquad =2}$  (${\displaystyle \chi }$ según el teorema del poliedro de Euler)

${\displaystyle \chi \;\,\,=V-A+C-Z\;\!=1}$  (${\displaystyle \chi }$ según las características de Euler-Poincaré)

con ${\displaystyle V=}$ Número de vértices, ${\displaystyle A=}$ Número de aristas, ${\displaystyle C=}$ Número de caras y ${\displaystyle Z=}$ Número de celdas.

En general, es válida (desde que se define así) para los poliedros de la característica ${\displaystyle \chi _{E}=2}$ (o ${\displaystyle \chi =1}$), que incluye todos los poliedros convexos sin excepción y muchos poliedros cóncavos "bien comportados", véase la sección validez.^[2]​

1. ↑ Una definición: Un poliedro es convexo si el sólido queda por completo de un mismo lado de un plano que contiene a una cara cualquiera. (Geometría superior), de Bruño.
2. ↑ Darauf wies zuerst Louis Poinsot 1810 hin.