Gradientti

Gradientti on matemaattinen differentiaalioperaattori, joka on määritelty usean muuttujan skalaarifunktioille ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$. Gradientti ilmaisee funktion suurimman muutosnopeuden (gradienttivektorin pituus) ja tämän suurimman muutoksen suunnan. Funktio kasvaa voimakkaimmin gradientin suuntaan ja vähenee voimakkaimmin negatiivisen gradientin suuntaan.^[1]

Karteesisessa koordinaatistossa gradientti on vektori, jonka komponentteina ovat funktion osittaisderivaatat. Esimerkiksi kolmen muuttujan funktion gradientti merkitään ${\displaystyle grad(f)}$ tai symbolin nabla avulla ${\displaystyle \nabla f}$ ja määritellään

${\displaystyle \nabla f(x,y,z)={\frac {\partial }{\partial x}}f(x,y,z){\vec {i}}+{\frac {\partial }{\partial y}}f(x,y,z){\vec {j}}+{\frac {\partial }{\partial z}}f(x,y,z){\vec {k}}}$,

missä ${\displaystyle {\vec {i}},{\vec {j}}}$ ja ${\displaystyle {\vec {k}}}$ -komponenttien kertoimet ovat funktion osittaisderivaattoja muuttujien ${\displaystyle x,y}$ ja ${\displaystyle z}$ suhteen. Yleisen ${\displaystyle n}$ muuttujan funktion gradientti määritellään

${\displaystyle \nabla f(\mathbf {x} )={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(\mathbf {x} ),&{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}(\mathbf {x} ),&\cdots &,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(\mathbf {x} )\end{bmatrix}}^{T}}$,

missä ${\displaystyle \mathbf {x} }$ on funktion muuttujien muodostama vektori

${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1},&x_{2},&\cdots ,&x_{n}\end{bmatrix}}^{T}}$.

Gradienttia voidaan pitää derivaatan yleistyksenä usean muuttujan funktioille. Gradientti on erikoistapaus Jacobin matriisista, joka on määritelty monen muuttujan vektoriarvoisille funktioille ${\displaystyle \mathbf {f} :\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{p}}$.

1. ↑ Adams, Robert A.: ”12.7 Gradients and Directional Derivatives”, Calculus: A Complete Course, s. 680. Pearson: Addison Wesley, 6. painos.