Lebesguen mitta

Tähän artikkeliin tai osioon ei ole merkitty lähteitä, joten tiedot kannattaa tarkistaa muista tietolähteistä. Voit auttaa Wikipediaa lisäämällä artikkeliin tarkistettavissa olevia lähteitä ja merkitsemällä ne ohjeen mukaan. Tarkennus: Vain yksi lähde

Lebesguen mitta on reaalilukujen joukon mitta, jota kutsutaan havainnollisuutensa vuoksi myös luonnolliseksi mitaksi. Sen integraali eli Lebesguen integraali on Riemannin integraalin laajennus.

Lebesguen mitalla on useita luonnolliselta tuntuvia ominaisuuksia. Se yhtenee geometrian pituus-, pinta-ala- ja tilavuuskäsitteiden kanssa sikäli, että esimerkiksi reaalilukuvälin ${\displaystyle [a,b]}$ Lebesguen mitta on ${\displaystyle b-a}$, -neliön ${\displaystyle [a,b]\times [a,b]}$ mitta on ${\displaystyle (b-a)^{2}}$ ja -kuution ${\displaystyle [a,b]\times [a,b]\times [a,b]}$ mitta on ${\displaystyle (b-a)^{3}}$. Se on siirto- ja kiertoinvariantti, minkä voi tulkita graafisesti niin, ettei joukon asennolla tai sijainnilla ole vaikutusta sen mittaan.

Lebesguen mitta on määritelty kaikille helposti kuviteltaville joukoille. Valinta-aksiooman avulla voidaan kuitenkin todistaa, että on olemassa sellaisiakin ${\displaystyle \mathbb {R} }$:n osajoukkoja, jotka eivät ole Lebesgue-mitallisia. Kaikki sellaiset ovat kuitenkin luonteeltaan hyvin monimutkaisia ja abstrakteja.^[1]

1. ↑ Lehto, Olli: Differentiaali- ja integraalilaskenta III, s. 67–68. Limes ry, 1979. ISBN 951-745-037-0