Log-normaalijakauma

Log-normaalijakauma

Tiheysfunktio
Kertymäfunktio
Merkintä	${\displaystyle {\text{Lognormal}}(\mu ,\,\sigma ^{2})}$
Parametrit	μ ∈ R σ2 > 0
Määrittelyjoukko	x ∈ R
Tiheysfunktio	${\displaystyle {\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\ \exp \left(-{\frac {\left(\ln x-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}$
Kertymäfunktio	${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {erf} {\Big [}{\frac {\ln x-\mu }{{\sqrt {2}}\sigma }}{\Big ]}}$
Odotusarvo	${\displaystyle \exp \left(\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)}$
Mediaani	${\displaystyle \exp(\mu )}$
Moodi	${\displaystyle \exp(\mu -\sigma ^{2})}$
Varianssi	${\displaystyle [\exp(\sigma ^{2})-1]\exp(2\mu +\sigma ^{2})}$
Vinous	${\displaystyle (\exp(\sigma ^{2})+2){\sqrt {\exp(\sigma ^{2})-1}}}$
Huipukkuus	${\displaystyle \exp(4\sigma ^{2})+2\exp(3\sigma ^{2})+3\exp(2\sigma ^{2})-6}$
Entropia	${\displaystyle \log _{2}(\sigma e^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}{\sqrt {2\pi }})}$
Momentit generoiva funktio	määritelty vain luvuille, joilla on ei-positiivinen reaaliosa
Karakteristinen funktio	esitys ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(it)^{n}}{n!}}e^{n\mu +n^{2}\sigma ^{2}/2}}$ hajaantuu asymptoottisesti, mutta sopii numeeristen likiarvojen laskentaan
Fisherin informaatiomatriisi	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1/\sigma ^{2}&0\\0&1/2\sigma ^{4}\end{pmatrix}}}$

Log-normaalijakauma^[1] eli logaritminormaalijakauma^[2] on toden­näköisyys­laskennassa sellaisen jatkuvan satunnaismuuttujan jakauma, jonka logaritmi on normaalisti jakautunut. Toisin sanoen, jos satunnais­muuttuja ${\displaystyle X}$ on log-normaalisti jakautunut, niin ${\displaystyle Y=\ln {X}}$ on normaalisti jakautunut, ja jos ${\displaystyle X}$ on normaalisti jakautunut, niin ${\displaystyle Y=e^{X}}$ on log-normaalisti jakautunut.^[2] Log-normaalisti jakautunut satunnais­muuttuja voi saada vain positiivisia reaali­luku­arvoja. Jakauma on käyttökelpoinen malli monille fysikaalisille, teknisille, taloustieteellisille ja muilla aloilla esiintyville muuttujille.

Jakaumaa nimitetään toisinaan myös Galtonin jakaumaksi Francis Galtonin mukaan.^[3] Muita siihen toisinaan yhdistettyjä nimiä ovat McAlister, Gibrat ja Cobb-Douglas.^[3]

Todennäköisyyslaskennan keskeisen raja-arvolauseen mukaan monen riippumattoman satunnaismuuttujan summa noudattaa sitä tarkemmin normaalijakaumaa, mitä enemmän näitä satunnaismuuttujia on. Samaan tapaan tarpeeksi monen toisistaan riippumattoman satunnaismuuttujan tulolla on taipumus noudattaa log-normaalijakaumaa sitä tarkemmin, mitä enemmän näitä muuttujia on.^[4] Log-normaalijakaumalla on myös suurin entropia niistä jakaumista, joilla on tietty odotusarvo ja varianssi.^[5]

1. ↑ Pentti Laininen: ”Tärkeitä jatkuvia jakaumismalleja”, Todennäköisyys ja sen tilastollinen soveltaminen, s. 96. Otatieto, 2001. ISBN 951-672312-8.
2. ↑ ^{a b} Pekka Tuominen, Pekka Norlamo: ”Satunnaismuuttujien yleistä teoriaa”, Todennäköisyyslaskenta, osa 2, s. 323. Limes ry, 1978. ISBN 951-745-023-0.
3. ↑ ^{a b} Norman L. Johnson, Samuel Kotz, N. Balakrishnan: ”Lognormal Distributions”, Continuous univariate distributions. Vol. 1. 2. painos. New York: John Wiley & Sons, 1994. ISBN 978-0-471-58495-7.
4. ↑ Log Normal Distribution Wolfram MathWorld. Eric W. Weisstein. Viitattu 4.9.2020.
5. ↑ Sung Y. Park, Anil K. Bera: Maximum entropy autoregressive conditional heteroskedasticity model. Journal of Econometrics, 2009, 150. vsk, nro 2, s. 219–230. doi:10.1016/j.jeconom.2008.12.014. Artikkelin verkkoversio. (Arkistoitu – Internet Archive)