Condition aux limites de Neumann

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En mathématiques, une condition aux limites de Neumann (nommée d'après Carl Neumann) est imposée à une équation différentielle ou à une équation aux dérivées partielles lorsque l'on spécifie les valeurs des dérivées que la solution doit vérifier sur les frontières/limites du domaine.

• Pour une équation différentielle, par exemple :

${\displaystyle y''+y=0~}$

la condition aux limites de Neumann sur l'intervalle ${\displaystyle [a,\,b]}$ s'exprime par :

${\displaystyle y'(a)=\alpha \ {\text{et}}\ y'(b)=\beta }$

où ${\displaystyle \alpha }$ et ${\displaystyle \beta }$ sont deux nombres donnés.

• Pour une équation aux dérivées partielles, par exemple :

${\displaystyle \Delta y+y=0~}$

où ${\displaystyle \Delta ~}$ est le Laplacien (opérateur différentiel), la condition aux limites de Neumann sur un domaine ${\displaystyle \Omega \subset R^{n}}$ s'exprime par :

${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial {\overrightarrow {n}}}}(x)=f(x)\quad \forall x\in \partial \Omega }$

où ${\displaystyle f}$ est une fonction scalaire connue définie sur la limite ${\displaystyle \partial \Omega }$ et ${\displaystyle {\overrightarrow {n}}}$ est le vecteur normal à la frontière ${\displaystyle \partial \Omega }$. La dérivée normale dans le membre de gauche de l'équation, est définie par :

${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial {\overrightarrow {n}}}}(x)={\overrightarrow {\mathrm {grad} }}~y(x)\cdot {\overrightarrow {n}}(x)}$

D'autres conditions sont possibles, telles la condition aux limites de Dirichlet et la condition aux limites de Robin, qui est une combinaison des conditions de Dirichlet et de Neumann.