Diviseur

Pour la notion de diviseur en géométrie algébrique, voir Diviseur (géométrie algébrique).

Le mot diviseur a deux significations en mathématiques :

• Une division est effectuée à partir d’un “dividende” et d’un “diviseur”, et une fois l’opération terminée, le produit du “quotient” par le diviseur augmenté du “reste” est égal au dividende.
• En arithmétique, un diviseur d'un entier ${\displaystyle n}$ est un entier ${\displaystyle d}$ tel qu'il existe un autre entier ${\displaystyle k}$ tel que ${\displaystyle n=dk}$. Par exemple ${\displaystyle 2}$ est un diviseur de ${\displaystyle 10}$ car ${\displaystyle 2\times 5=10}$. La notion de diviseur est liée à celle de multiple, car si ${\displaystyle d}$ divise ${\displaystyle n}$ alors ${\displaystyle n}$ est un multiple de ${\displaystyle d}$, et à la notion de divisibilité^[1].

Ces deux notions sont liées. Si ${\displaystyle a}$ est un diviseur de ${\displaystyle b}$ au sens arithmétique et ${\textstyle b\neq 0}$, alors le reste de la division euclidienne de ${\displaystyle a}$ par ${\displaystyle b}$ est ${\displaystyle 0}$ et donc ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ est un entier. On dit alors que ${\displaystyle a}$ est divisible par ${\displaystyle b}$.

Cette notion se généralise aux anneaux commutatifs. Contrairement à ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, dans un anneau non intègre, ${\displaystyle 0}$ peut avoir des diviseurs non nul.