Fonction analytique

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En mathématiques, et plus précisément en analyse, une fonction analytique est une fonction d'une variable réelle ou complexe qui est développable en série entière au voisinage de chacun des points de son domaine de définition.

Autrement dit, pour tout ${\displaystyle x_{0}}$ de ce domaine, il existe une suite ${\displaystyle (a_{n})}$ (dépendant de ${\displaystyle x_{0}}$) donnant une expression de la fonction, valable pour tout ${\displaystyle x}$ assez proche de ${\displaystyle x_{0}}$, sous la forme d'une série convergente :

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}.}$

Toute fonction analytique est indéfiniment dérivable, mais la réciproque est fausse en général.

Dans le cas d'une fonction d'une variable complexe définie sur un ouvert, une fonction est analytique si et seulement si elle est holomorphe.

Qu'elle soit de variable réelle ou complexe, une fonction analytique sur un ouvert connexe et non identiquement nulle a ses zéros isolés. Cette propriété induit l'unicité^{[note 1]} du prolongement analytique sur tout ouvert connexe.
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