Fonction de Hilbert-Samuel

En algèbre commutative, la fonction de Hilbert-Samuel (du nom de David Hilbert et Pierre Samuel^[1]), d'un module de type fini non nul ${\displaystyle M}$ sur un anneau local noethérien commutatif ${\displaystyle A}$ et un idéal primordial ${\displaystyle I}$ de ${\displaystyle A}$ est la fonction ${\displaystyle \chi _{M}^{I}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$ définie pour tous ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ par :

${\displaystyle \chi _{M}^{I}(n)=\ell (M/I^{n}M)}$

où ${\displaystyle \ell }$ désigne la longueur sur ${\displaystyle A}$. Elle est liée à la fonction de Hilbert du module gradué associé ${\displaystyle \operatorname {gr} _{I}(M)}$ par l'identité :

${\displaystyle \chi _{M}^{I}(n)=\sum _{i=0}^{n}H(\operatorname {gr} _{I}(M),i).}$

Pour ${\displaystyle n}$ assez grand, elle coïncide avec une fonction polynomiale de degré égale à ${\displaystyle \dim(\operatorname {gr} _{I}(M))}$, souvent appelé polynôme de Hilbert-Samuel (ou polynôme de Hilbert^[2]).