En algèbre commutative, la fonction de Hilbert-Samuel (du nom de David Hilbert et Pierre Samuel[1]), d'un module de type fini non nul
sur un anneau local noethérien commutatif
et un idéal primordial
de
est la fonction
définie pour tous
par :
![{\displaystyle \chi _{M}^{I}(n)=\ell (M/I^{n}M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20ee32ac41ec62d9a00c1736010549f04ef4d06c)
où
désigne la longueur sur
. Elle est liée à la fonction de Hilbert du module gradué associé
par l'identité :
![{\displaystyle \chi _{M}^{I}(n)=\sum _{i=0}^{n}H(\operatorname {gr} _{I}(M),i).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f88dbf1f804244c8b2018cd2d69e42b65e26f988)
Pour
assez grand, elle coïncide avec une fonction polynomiale de degré égale à
, souvent appelé polynôme de Hilbert-Samuel (ou polynôme de Hilbert[2]).
- ↑ H. Hironaka, Resolution of Singularities of an Algebraic Variety Over a Field of Characteristic Zero: I. Ann. of Math. 2nd Ser., Vol. 79, No. 1. (Jan., 1964), pp. 109-203.
- ↑ Atiyah, M. F. and MacDonald, I. G. Introduction to Commutative Algebra. Reading, MA: Addison–Wesley, 1969.