Fraction continue

{\sqrt {2}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\,\cdots }}}}}}

Exemple de développement infini en fraction continue.

En mathématiques, une fraction continue ou fraction continue simple ou plus rarement fraction continuée^[1] est une expression de la forme :

a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+\dots }}}}}}

comportant un nombre fini ou infini d'étages.

On montre qu'on peut « représenter » — en un sens qui sera précisé — tout nombre réel sous forme d'une fraction continue, finie ou infinie, dans laquelle a₀ est un entier relatif et les autres a_j sont des entiers strictement positifs.

Comme dans la notation décimale usuelle, où chaque réel est approché par des nombres décimaux de plus en plus précisément au fur et à mesure de la donnée des décimales successives, de même chaque réel est approché par des fractions étagées de la forme ci-dessus de plus en plus précisément au fur et à mesure qu'on rajoute des étages. En outre, s'il faut une infinité de décimales pour décrire exactement un nombre non décimal, il faut un développement infini en fraction continue pour décrire exactement un nombre irrationnel.

Les fractions continues sont utiles en approximation diophantienne, notamment parce qu'elles fournissent, en un certain sens, les « meilleures » approximations des réels par des rationnels. Cette propriété est à l'origine d'algorithmes pour l'approximation de racines carrées, mais aussi de démonstrations d'irrationalité voire de transcendance pour certains nombres comme $π$ ou e. La périodicité des fractions continues des racines carrées d'entiers strictement supérieurs à 1 et sans facteur carré a des conséquences utiles pour l'étude de l'équation de Pell-Fermat.

Déjà usitées chez les mathématiciens indiens au Moyen Âge, les fractions continues sont étudiées en Europe dès le XVII^e siècle. Elles sont maintenant généralisées à d'autres expressions, appliquées aux approximations de séries entières appelées approximant de Padé, ou encore adaptées aux applications linéaires.

↑ Pour Jean Dieudonné, « le terme traditionnel en français est « fraction continue », ce qui risque d'entraîner des confusions fâcheuses lorsque la fraction dépend d'un paramètre variable ; l'anglais évite cette confusion en disant continued et non continuous » (Jean Dieudonné (dir.), Abrégé d'histoire des mathématiques 1700-1900 [détail des éditions]), d'où la traduction littérale de « fraction continuée ». Selon Alain Faisant, L'équation diophantienne du second degré, Hermann, 1991, 237 p. (ISBN 978-2-7056-1430-0), chap. 2 (« Les fractions continuées »), p. 47, « on dit souvent, à tort, fractions continues ».

[1] Pour Jean Dieudonné, « le terme traditionnel en français est « fraction continue », ce qui risque d'entraîner des confusions fâcheuses lorsque la fraction dépend d'un paramètre variable ; l'anglais évite cette confusion en disant continued et non continuous » (Jean Dieudonné (dir.), Abrégé d'histoire des mathématiques 1700-1900 [détail des éditions]), d'où la traduction littérale de « fraction continuée ». Selon Alain Faisant, L'équation diophantienne du second degré, Hermann, 1991, 237 p. (ISBN 978-2-7056-1430-0), chap. 2 (« Les fractions continuées »), p. 47, « on dit souvent, à tort, fractions continues ».

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