Mesure de comptage

Cet article est une ébauche concernant les mathématiques.

Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants.

La mesure de comptage (ou mesure de dénombrement) est une mesure positive associée à la cardinalité d'un ensemble.

Si l'on note ${\displaystyle \mu }$ la mesure de comptage sur la tribu des parties d'un ensemble ${\displaystyle X}$, on a, pour tout ${\displaystyle A\subset X}$ : $${\displaystyle \mu (A)={\begin{cases}\vert A\vert &{\text{si }}A{\text{ est fini}}\\+\infty &{\text{si }}A{\text{ est infini.}}\end{cases}}}$$

Par définition de l'intégrale de Lebesgue, pour toute application ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} _{+}}$, on a :

${\displaystyle \int f\,\mathrm {d} \mu =\sum _{y\in \mathbb {R} _{+}}y|f^{-1}(\{y\})|=\sum _{x\in X}f(x)}$.

L'intégrale pour la mesure de comptage est donc une somme (ou une série). Elle est particulièrement utile avec les suites numériques. Ainsi les divers théorèmes associés à la théorie de la mesure s'appliquent aux séries (inversion série/intégrale et série/limite par exemple).