Noyau de Dirichlet

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En mathématiques, et plus précisément en analyse, le n-ième noyau de Dirichlet — nommé ainsi en l'honneur du mathématicien allemand Johann Dirichlet — est le polynôme trigonométrique défini par :

${\displaystyle D_{n}(x)=\sum _{k=-n}^{n}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} kx}=1+2\sum _{k=1}^{n}\cos(kx)}$.

C'est donc une fonction 2π-périodique de classe ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }}$. Elle vérifie de plus :

• si x n'est pas un multiple entier de 2π, alors ${\displaystyle D_{n}(x)={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{\sin \left({\frac {x}{2}}\right)}}}$ ;
• si x est un multiple entier de 2π, alors ${\displaystyle D_{n}(x)=2n+1}$.

Le noyau de Dirichlet permet notamment d'améliorer la convergence des séries de Fourier. Il intervient aussi en optique, pour rendre compte des franges et des compositions d'ondes cohérentes.