Point de branchement

En analyse complexe, le point de branchement ou point de ramification est un point singulier d'une fonction analytique complexe multiforme, telle que la fonction racine n-ième ou le logarithme complexe. En ce point s'échangent les différentes déterminations.

Géométriquement, cette notion délicate est liée à la surface de Riemann associée à la fonction et relève de la question de la monodromie.

Pour donner une image, cela correspond à un escalier en colimaçon dont l'axe (réduit à un point) est placé à la singularité, desservant plusieurs (voire une infinité) d'étages. Dans le cas d'un nombre fini d'étages, l'escalier a une propriété de périodicité : arrivé au dernier étage, on peut continuer à monter et on se retrouve au rez-de-chaussée.

En pratique, il suffit de tourner autour d'un point de branchement pour changer d'« étage ».

Les différents étages sont appelés des feuillets (ou branches). L'ordre du point est égal au nombre de feuillets (branches).