Point fixe

Pour l’article homonyme, voir Point fixe (aéronautique).

En mathématiques, pour une application ${\displaystyle f}$ d'un ensemble E dans lui-même, un élément ${\displaystyle x}$ de E est un point fixe de ${\displaystyle f}$ si ${\displaystyle f(x)=x}$. Exemples :

• dans le plan, la symétrie par rapport à un point A admet un unique point fixe : A ;
• l'application inverse (définie sur l'ensemble des réels non nuls) admet deux points fixes : –1 et 1, solutions de l'équation ${\displaystyle {\frac {1}{x}}=x}$ équivalente à l'équation ${\displaystyle x^{2}=1}$.

Graphiquement, les points fixes d'une fonction ${\displaystyle f}$ (d'une variable réelle, à valeurs réelles) sont les points d'intersection de la droite d'équation ${\displaystyle y=x}$ avec la courbe d'équation ${\displaystyle y=f(x)}$.

Toutes les fonctions n'ont pas nécessairement de point fixe ; par exemple, la fonction x ↦ x + 1 n'en possède pas, car il n'existe aucun nombre réel x égal à x + 1.

Pour une fonction f définie sur E et à valeurs dans ${\displaystyle {\mathcal {P}}(E)}$, un point fixe est un élément x de E tel que ${\displaystyle x\in f(x)}$, comme dans le théorème du point fixe de Kakutani.