Quaternion

« Quaternions » redirige ici. Pour le groupe Q₈, voir Groupe des quaternions.

En mathématiques, un quaternion est un nombre dans un sens généralisé^[1]. Les quaternions englobent les nombres réels et complexes dans un système de nombres plus vaste où la multiplication n'est cette fois-ci plus une loi commutative. Les quaternions furent introduits par le mathématicien irlandais William Rowan Hamilton en 1843^[2],[3]. Ils trouvent aujourd'hui des applications en mathématiques, en physique, en informatique et en sciences de l'ingénieur.

Les quaternions sont ainsi le premier exemple de nombres hypercomplexes. D'après le théorème de Frobenius ce sont aussi les derniers, au sens où il n'existe pas de système de nombres plus général à moins de renoncer à l'associativité de la multiplication. Mathématiquement, l'ensemble des quaternions ${\displaystyle \mathbb {H} }$ est une algèbre associative unifère sur le corps des nombres réels ${\textstyle \mathbb {R} }$ engendrée par trois éléments ${\displaystyle i}$, ${\displaystyle j}$ et ${\displaystyle k}$ satisfaisant les relations quaternioniques :

${\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1}$.

C'est une algèbre à division : tout quaternion non nul admet un inverse. La multiplication des quaternions n'étant pas commutative, ${\displaystyle \mathbb {H} }$ est le premier exemple de corps non commutatif.

Dans une publication sur les octonions, le mathématicien John Baez rappelle une perte progressive de propriétés : les réels sont complets et ordonnés, les complexes ne sont pas ordonnés, mais se comportent « algébriquement bien », les quaternions ne sont plus commutatifs, et les octonions ne sont même plus associatifs^[4].