Rotationnel

L'opérateur rotationnel est un opérateur différentiel aux dérivées partielles qui, à un champ vectoriel tridimensionnel, noté ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ou ${\displaystyle {\vec {\mathrm {A} }}}$, fait correspondre un autre champ noté au choix :

${\displaystyle {\overrightarrow {\operatorname {rot} }}\ {\vec {\mathrm {A} }}}$ ou bien ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\wedge \mathbf {A} }$ ou bien ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} }$ ou bien ${\displaystyle {\vec {\nabla }}\wedge {\vec {\mathrm {A} }}}$ ou bien ${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {\mathrm {A} }}}$

selon les conventions de notations utilisées pour les vecteurs^[1].

Plus difficile à se représenter aussi précisément que le gradient et la divergence, il exprime la tendance qu'ont les lignes de champ d'un champ vectoriel à tourner autour d'un point : sa circulation locale sur un petit lacet entourant ce point est non nulle quand son rotationnel ne l'est pas. Par exemple :

• dans une tornade, le vent tourne autour de l'œil du cyclone et le champ vectoriel vitesse du vent a un rotationnel non nul autour de l'œil. Le rotationnel de ce champ de vitesse (autrement dit le champ de vorticité ou encore champ tourbillon) est d'autant plus intense que l'on est proche de l'œil. La vitesse instantanée de rotation d'un élément de volume dans un tourbillon est la moitié du rotationnel en ce point ;
• le rotationnel du champ des vitesses ${\displaystyle \mathbf {V} (\mathbf {r} )}$ d'un solide qui tourne à la vitesse angulaire ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}}$ est dirigé selon l'axe de rotation et orienté de telle sorte que la rotation ait lieu, par rapport à lui, dans le sens direct et vaut simplement ${\displaystyle 2\ {\boldsymbol {\Omega }}}$.

La notion de rotationnel de la vitesse est essentielle en mécanique des fluides. Elle décrit une rotation de la particule fluide. Si l'écoulement est irrotationnel (son rotationnel est nul en tout point), en termes mathématiques, le vecteur vitesse est alors le gradient du potentiel (on dit alors que les vitesses « dérivent d'un potentiel »). Si le fluide peut être considéré comme incompressible, la divergence de ce vecteur s'annule. Le laplacien du potentiel est donc nul : il s'agit d'un potentiel harmonique qui satisfait l'équation de Laplace.