Suite de Padovan

La suite de Padovan est la suite d'entiers (P_n) définie par récurrence par^[1] :

${\displaystyle P_{0}=P_{1}=P_{2}=1{\text{ et }}\forall n\in \mathbb {N} \quad P_{n+3}=P_{n+1}+P_{n}.}$

C'est une suite récurrente linéaire qui ressemble dans sa forme à la suite de Fibonacci, à une nuance près : la somme des termes de rang n et n + 1 ne donne pas le terme de rang n + 2 mais celui de rang n + 3.

Cette suite d'entiers est strictement croissante à partir du rang 4 ;étendue aux termes d'indice négatifs de sorte que la relation de récurrence ci-dessus soit valable ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {Z} }$, elle prend les valeurs :

n	-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
${\displaystyle P_{n}}$	1	0	0	1	0	1	1	1	2	2	3	4	5	7	9	12

Elle correspond, décalée d'un cran, à la suite A134816 de l'OEIS (${\displaystyle P_{n}=A134816(n+1)}$) et, décalée de cinq crans, à la suite A000931 de l'OEIS (${\displaystyle P_{n}=A000931(n+5)}$).

Elle porte le nom de l'architecte Richard Padovan (en) qui l'a étudiée, et est associée au nombre plastique étudié par l'architecte puis moine Hans van der Laan^[2]. Le mathématicien Ian Stewart, dans l'Univers des nombres, évoque et étudie cette suite et lui attribue le nom de suite de Padovan^[3] ; il remarque que par une coïncidence heureuse, "Padovan" a la même origine que "Padoue", ville peu éloignée de Pise, dont Fibonacci était originaire.

Le terme général de la suite de Padovan est lié aux trois racines du polynôme X³ – X – 1.

Le quotient de deux termes consécutifs tend vers le nombre plastique.