Kaidah rantai

Artikel atau sebagian dari artikel ini mungkin diterjemahkan dari Chain rule di en.wikipedia.org. Isinya masih belum akurat, karena bagian yang diterjemahkan masih perlu diperhalus dan disempurnakan. Jika Anda menguasai bahasa aslinya, harap pertimbangkan untuk menelusuri referensinya dan menyempurnakan terjemahan ini. Anda juga dapat ikut bergotong royong pada ProyekWiki Perbaikan Terjemahan. (Pesan ini dapat dihapus jika terjemahan dirasa sudah cukup tepat. Lihat pula: panduan penerjemahan artikel)

Dalam kalkulus, kaidah rantai atau aturan rantai adalah rumus untuk turunan fungsi komposit (fungsi bersusun) dari dua fungsi matematika.

Secara intuitif, bila variabel y bergantung pada variabel kedua, u, yang pada gilirannya bergantung pada variabel ketiga, x, maka laju perubahan y terhadap x dapat dihitung sebagai laju perubahan y terhadap u dikalikan dengan laju perubahan u terhadap x. Ini dapat dituliskan sebagai

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}}$

Aturan rantai dapat ditulis ulang dalam notasi Leibniz dengan cara berikut. Bila variabel z tergantung pada variabel y, yang bergantung pada variabelnya x (yaitu y dan z adalah variabel dependen), lalu z, melalui variabel perantara y, tergantung pada x demikian juga. Dalam hal ini, aturan rantai menyatakan bahwa:

${\displaystyle {\frac {dz}{dx}}={\frac {dz}{dy}}\cdot {\frac {dy}{dx}}.}$

Lebih tepatnya, untuk menunjukkan titik setiap turunan evaluasi, ${\displaystyle \left.{\frac {dz}{dx}}\right|_{x}=\left.{\frac {dz}{dy}}\right|_{y(x)}\cdot \left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x}}$.

Versi aturan rantai di Lagrange dan notasi Leibniz adalah setara, dalam arti bila ${\displaystyle z=f(y)\!}$ dan ${\displaystyle y=g(x)\!}$, seperti nilai ${\displaystyle z=f(g(x))=(f\circ g)(x)}$, maka

${\displaystyle \left.{\frac {dz}{dx}}\right|_{x}=(f\circ g)'(x)}$

dan

${\displaystyle \left.{\frac {dz}{dy}}\right|_{y(x)}\cdot \left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x}=f'(y(x))g'(x)=f'(g(x))g'(x).}$^[1]

Secara intuitif, aturan rantai menyatakan bahwa mengetahui tingkat perubahan seketika z tergantung pada y dan dari y relative to x memungkinkan seseorang untuk menghitung tingkat perubahan seketika z tergantung pada x. Seperti yang dikemukakan oleh George F. Simmons: "Jika sebuah mobil melaju dua kali lebih cepat dari sepeda dan sepeda empat kali lebih cepat dari orang yang berjalan kaki, maka mobil tersebut berjalan 2 × 4 = 8 kali lebih cepat dari pria itu."^[2]

Dalam integrasi, pasangan dari aturan rantai adalah aturan substitusi.

1. ^ "Aturan Rantai dalam Notasi Leibniz". oregonstate.edu. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2019-07-25. Diakses tanggal 2019-07-28. 
2. ^ George F. Simmons, Kalkulus dengan Geometri Analitik (1985), p. 93.