Persamaan Laplace

Analisis matematika → Analisis kompleks
Analisis kompleks
Bilangan kompleks
Bilangan real Bilangan imajiner Bidang kompleks Konjugat kompleks Bilangan kompleks satuan
Fungsi kompleks
Fungsi bernilai kompleks Fungsi analitik Fungsi holomorfik Persamaan Cauchy–Riemann Deret pangkat formal
Teori dasar
Nol dan kutub Teorema integral Cauchy Primitif lokal Rumus integral Cauchy Bilangan lilitan Deret Laurent Kesingularan terpencil Teorema residu Peta konformal Lema Schwarz Fungsi harmonik Persamaan Laplace
Teori fungsi geometri
Tokoh-tokoh
Augustin-Louis Cauchy Leonhard Euler Carl Friedrich Gauss Jacques Hadamard Kiyoshi Oka Bernhard Riemann Karl Weierstrass
Portal Matematika
l b s

Dalam matematika dan fisika, persamaan Laplace adalah persamaan diferensial parsial orde dua yang dinamankan dengan nama Pierre-Simon Laplace, yang pertama kali mempelajari sifat-sifatnya. Persamaan ini umum ditulis dalam bentuk$${\displaystyle \nabla ^{2}\!f=0}$$atau$${\displaystyle \Delta f=0,}$$dengan simbol ${\displaystyle \Delta =\nabla \cdot \nabla =\nabla ^{2}}$ menyatakan operator Laplace,^{[note 1]} ${\displaystyle \nabla \cdot }$ menyatakan operator divergensi (juga disimbolkan dengan "div"), ${\displaystyle \nabla }$ menyatakan operator gradien (juga disimbolkan dengan "grad"), dan ${\displaystyle f(x,y,z)}$ adalah sebuah fungsi bernilai real yang terdiferensialkan dua kali. Persamaan ini juga mengartikan operator Laplace memetakan sebuah fungsi bernilai skalar ke sebuah fungsi bernilai skalar yang lain.

Jika ruas kanan persamaan Laplace berisi sebuah fungsi ${\displaystyle h(x,y,z)}$, maka akan didapatkan bentuk$${\displaystyle \Delta f=h.}$$Persamaan ini disebut dengan persamaan Poisson, sebuah perumuman dari persamaan Laplace. Persamaan Laplace dan persamaan Poisson adalah contoh termudah dari persamaan diferensial eliptik parsial. Selain itu, persamaan Laplace merupakan kasus khusus dari persamaan Helmholtz.

Solusi kontinu dan terdiferensialkan dua kali dari persamaan Laplace akan berupa fungsi harmonik,^[1] yang memiliki peran penting dalam banyak cabang fisika, contohnya di elektrostatika, gravitasi, dan dinamika fluida. Dalam konduksi panas, persamaan Laplace menyatakan persamaan panas yang tunak (steady-state).^[2] Secara umum, persamaan Laplace menyatakan kondisi keseimbangan, atau kondisi yang secara eksplisit tidak bergantung pada waktu.

Kesalahan pengutipan: Ditemukan tag <ref> untuk kelompok bernama "note", tapi tidak ditemukan tag <references group="note"/> yang berkaitan

1. ^ Stewart, James. Calculus : Early Transcendentals. 7th ed., Brooks/Cole, Cengage Learning, 2012. Chapter 14: Partial Derivatives. p. 908. ISBN 978-0-538-49790-9.
2. ^ Zill, Dennis G, and Michael R Cullen. Differential Equations with Boundary-Value Problems. 8th edition / ed., Brooks/Cole, Cengage Learning, 2013. Chapter 12: Boundary-value Problems in Rectangular Coordinates. p. 462. ISBN 978-1-111-82706-9.