Teorema nilai purata

Untuk setiap fungsi kontinu pada selang tertutup [a, b] dan terdiferensialkan pada selang terbuka (a, b) terdapat paling tidak satu c adalam selang (a, b) sedemikian rupa sehingga garis yang menghubungkan titik-titik ujung selang (*secant*) [a, b] sejajar terhadap garis singgung (*tangent*) pada c.

Teorema nilai purata atau teorema nilai rata-rata menyatakan bahwa pada sembarang bagian kurva mulus, terdapat paling tidak satu titik di mana turunan (kemiringan) kurva tersebut sama dengan (sejajar terhadap) "rata-rata" turunan bagian kurva tersebut.^[1] Teorema ini digunakan untuk membuktikan berbagai teorema lain tentang fungsi pada suatu selang, yang dimulai dengan anggapan tentang turunan pada titik-titik di selang tersebut.

Teorema ini dapat dipahami dengan menerapkannya pada gerakan: bila sebuah mobil menempuh jarak 100 km dalam satu jam, sehingga rata-rata kecepatannya dalam waktu itu adalah 100 km/jam, maka pada suatu waktu dalam perjalanan itu laju sesaat mobil haruslah tepat 100 km/jam.

Versi awal teorema ini pertama kali diperikan oleh Parameshvara (1370–1460) dari mazhab astronomi dan matematika Kerala dalam komentarnya tentang Govindasvāmi and Bhaskara II.^[2] Bentuk modern teorema nilai rata-rata dinyatakan oleh Augustin Louis Cauchy (1789–1857)

Teorema nilai rata-rata merupakan salah satu hasil terpenting dalam kalkulus diferensial, dan juga salah satu teorema penting dalam analisis matematika, dan esensial dalam membuktikan teorema dasar kalkulus.

^ "Mean Value Theorem" by Michael Trott, The Wolfram Demonstrations Project.
^ J. J. O'Connor and E. F. Robertson (2000). Paramesvara Diarsipkan 2015-04-02 di Wayback Machine., MacTutor History of Mathematics archive.

[1] "Mean Value Theorem" by Michael Trott, The Wolfram Demonstrations Project.

[2] J. J. O'Connor and E. F. Robertson (2000). Paramesvara Diarsipkan 2015-04-02 di Wayback Machine., MacTutor History of Mathematics archive.

[1]

[2]