Teori gelanggang

Struktur aljabar → Teori grup Teori grup
Gagasan dasar Subgrup Subgrup normal Grup hasil bagi darab langsung semi-darab langsung Homomorfisme grup kernel bayangan jumlah langsung karangan bunga sederhana hingga takhingga kontinu multiplikatif aditif siklik Abel dihedral nilpoten terselesaikan aksi Glosarium teori grup Daftar topik teori grup
Grup hingga Klasifikasi grup sederhana hingga siklik bergantian tipe Lie sporadik Teorema Cauchy Teorema Lagrange Teorema Sylow Teorema Hall grup-p Grup Abel elementer Grup Frobenius Pengganda Schur Grup simetrik ${\displaystyle \mathrm {S} _{n}}$ Grup Klein ${\displaystyle \mathrm {V} }$ Grup dihedral ${\displaystyle \mathrm {D} _{n}}$ Grup kuaternion ${\displaystyle \mathrm {Q} }$ Grup disiklik ${\displaystyle \mathrm {Dic} _{n}}$
Grup diskret Kekisi Bilangan bulat (${\displaystyle \mathbb {Z} }$) Grup bebas Grup modular ${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )}$ Grup aritmetika Kekisi Grup hiperbolik
Topologis dan Grup Lie Solenoid Lingkaran Linear umum ${\displaystyle \mathrm {GL} (n)}$ Linear khusus ${\displaystyle \mathrm {SL} (n)}$ Ortogonal ${\displaystyle \mathrm {O} (n)}$ Euklides ${\displaystyle \mathrm {E} (n)}$ Ortogonal khusus ${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$ Uner ${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$ Uniter khusus ${\displaystyle \mathrm {SU} (n)}$ Simplektik ${\displaystyle \mathrm {Sp} (n)}$ G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré konformal Difeomorfisme Gelung Grup Lie berdimensi takhingga ${\displaystyle O(\infty )}$ ${\displaystyle \mathrm {SU} (\infty )}$ ${\displaystyle \mathrm {Sp} (\infty )}$
Grup aljabar Grup aljabar linear Grup reduktif Varietas Abel Kurva eliptik
l b s

Dalam aljabar, teori gelanggang adalah studi tentang gelanggang^[1] struktur aljabar di mana penjumlahan dan perkalian ditentukan dan memiliki sifat yang mirip dengan operasi ditentukan untuk bilangan bulat. Teori gelanggang mempelajari struktur gelanggang, representasi, atau, dalam bahasa yang berbeda, modul, kelas khusus gelanggang (grup gelanggang, gelanggang pembagian, aljabar pembungkus universal), serta sifat yang terbukti dalam teori dari sifat homologis dan identitas polinomial.

Gelanggang komutatif jauh lebih dipahami dari gelanggang nonkomutatif. Geometri aljabar dan teori bilangan aljabar, yang memberikan banyak contoh alami gelanggang komutatif, telah mendorong banyak perkembangan teori gelanggang komutatif, yang sekarang, dengan nama aljabar komutatif , bidang utama matematika modern. Karena tiga bidang (geometri aljabar, teori bilangan aljabar, dan aljabar komutatif) saling terkait, biasanya sulit dan tidak berarti untuk memutuskan bidang. Misalnya, Hilbert Nullstellensatz adalah teorema fundamental untuk geometri aljabar, dan dibuktikan dalam aljabar komutatif. Maka, teorema terakhir Fermat dalam istilah dasar aritmetika, yang merupakan bagian dari aljabar komutatif, tetapi pembuktiannya melibatkan hasil yang mendalam dari teori bilangan aljabar dan aljabar.

Gelanggang nonkomutatif memiliki sifat tidak biasa. Sedangkan teori telah berkembang dengan sendiri, telah berusaha untuk paralel dengan perkembangan komutatif dengan membangun teori kelas dari gelanggang nonkomutatif dalam gaya geometri adalah gelanggang dari fungsi pada 'ruang nonkomutatif'. Hal ini dimulai pada 1980-an dengan perkembangan geometri nonkomutatif dan dengan penemuan grup kuantum. Hal ini mengarah pada pemahaman yang lebih baik tentang gelanggang nonkomutatif, terutama gelanggang Noetherian nonkomutatif.^[2]

Untuk definisi gelanggang dan konsep dasar serta propertinya, lihat gelanggang (matematika) . Definisi dari istilah yang digunakan di seluruh teori gelanggang dapat ditemukan di Glosarium teori gelanggang .

1. ^ Teori gelanggang mungkin termasuk juga studi tentang rng.
2. ^ Goodearl & Warfield (1989).