Algebra elementare

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L'algebra elementare è la branca della matematica che studia il calcolo letterale, cioè studia i monomi e i polinomi ed estende ad essi le operazioni aritmetiche, dette in questo contesto operazioni algebriche.

Ciò è di grande utilità perché:

• consente la formulazione generale di leggi aritmetiche (come ${\displaystyle a+b=b+a}$ per ogni ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$), e quindi è il primo passo per un'esplorazione sistematica delle proprietà del sistema dei numeri reali;
• consente di riferirsi a numeri incogniti e quindi di formulare delle equazioni e di sviluppare tecniche per risolverle (per esempio: "trova un numero ${\displaystyle x}$ tale che ${\displaystyle 3\cdot x+2=10}$);
• consente la formulazione di relazioni funzionali (come la seguente: "se si vendono ${\displaystyle x}$ biglietti, allora il profitto sarà ${\displaystyle 10x-5}$ euro").

Un'espressione algebrica può contenere numeri, variabili ed operazioni aritmetiche; esempi sono ${\displaystyle a+3}$ e ${\displaystyle x^{2}-3}$.

Un'equazione è una proposizione aperta, contenente un'uguaglianza, che può essere vera o falsa in funzione del valore attribuito alle variabili incognite in essa presenti. Alcune equazioni sono vere per ogni valore delle incognite (per esempio ${\displaystyle a+(b+c)=(a+b)+c}$); esse sono conosciute come identità. Altre equazioni contengono dei simboli per le variabili incognite e siamo quindi interessati a trovare quei particolari valori che rendono vera l'uguaglianza, cioè rendono il primo membro uguale al secondo: ${\displaystyle x^{2}-1=4}$. Essi sono detti soluzioni dell'equazione.