In logica matematica, una teoria formale si dice coerente (o non contraddittoria, talvolta anche consistente, usando un calco dell'inglese consistent) se in essa è impossibile dimostrare una contraddizione.[1]
A priori si distinguono due livelli di coerenza:
Si dimostra che per una teoria del primo ordine ciascuno dei due tipi di coerenza implica l'altro. Dimostrare una delle due implicazioni è semplice mentre dimostrare che una teoria sintatticamente coerente ammette sempre un modello è la parte non banale della dimostrazione e richiede l'utilizzo dell'assioma della scelta per famiglie numerabili di insiemi.[2]
Un esempio semplice di teoria del primo ordine non coerente è dato dalla teoria che ha un unico simbolo predicativo P e come unico assioma:
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