Distribuzione di Maxwell-Boltzmann

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Distribuzione di Maxwell-Boltzmann
Funzione di densità
Funzione di ripartizione
Parametri	${\displaystyle a>0\,}$
Supporto	${\displaystyle x\in [0;\infty )}$
Funzione di densità	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {x^{2}e^{-x^{2}/(2a^{2})}}{a^{3}}}}$
Funzione di ripartizione	${\displaystyle {\textrm {erf}}\left({\frac {x}{{\sqrt {2}}a}}\right)-{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {xe^{-x^{2}/(2a^{2})}}{a}}}$, dove ${\displaystyle \mathrm {erf} }$ è la funzione degli errori
Valore atteso	${\displaystyle \mu =2a{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}}$
Moda	${\displaystyle {\sqrt {2}}a}$
Varianza	${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {a^{2}(3\pi -8)}{\pi }}}$
Indice di asimmetria	${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {2{\sqrt {2}}(16-5\pi )}{(3\pi -8)^{3/2}}}}$
Curtosi	${\displaystyle 0}$
Entropia	${\displaystyle {\frac {1}{2}}-\gamma -\ln(a{\sqrt {2\pi }})}$
Manuale

La distribuzione di Maxwell-Boltzmann è una funzione di distribuzione delle particelle con una certa energia, in un sistema che obbedisce alle leggi della fisica classica: fornisce cioè la probabilità che una particella abbia un'energia compresa fra ${\displaystyle E}$ ed ${\displaystyle E+\mathrm {d} E}$, oppure una velocità compresa fra ${\displaystyle v}$ e ${\displaystyle v+\mathrm {d} v}$.

Le ipotesi fondamentali alla base di questa distribuzione sono che le particelle componenti il sistema siano distinguibili, che il sistema sia lineare, isotropo e che i processi statistici alla base dello stato del sistema obbediscano alla statistica di Markov. In termini fisici, si dice allora che il sistema è perfettamente termalizzato. Questo avviene per esempio se la frequenza di collisioni all'interno del sistema (che per esempio può essere un gas) è abbastanza elevata rispetto ai tempi dei processi che si vogliono analizzare.

Quando la prima ipotesi cade, per esempio nella meccanica quantistica, la distribuzione di Maxwell-Boltzmann non è più valida, e compaiono invece due tipi di distribuzioni diverse, note come distribuzione di Fermi-Dirac e di Bose-Einstein.

Quando le ipotesi sulla linearità, isotropia o sulla statistica Markoviana cadono, la distribuzione di Maxwell-Boltzmann viene variamente modificata, a seconda delle proprietà del sistema. In questo secondo caso, non esiste una trattazione organica completa, ma ci sono varie teorie che permettono di trattare alcuni casi particolari. Qui di seguito verrà esposto il caso dei sistemi debolmente caotici, cioè di quei sistemi che nella teoria del caos non sono ergodici, ma sono caratterizzati da regioni ordinate immerse in regioni più caotiche.