Funzione algebrica

In matematica, intuitivamente le funzioni algebriche si possono considerare come funzioni costruite attraverso un numero finito di applicazioni delle quattro operazioni dell'aritmetica, dell'elevamento a potenza e dell'estrazione della radice n-esima. Questo in prima approssimazione, perché le funzioni algebriche, nei casi irriducibili e per il teorema fondamentale della Teoria di Galois, non necessariamente sono espresse con radicali.

Con più precisione, si dice che una funzione f (x) è algebrica se soddisfa identicamente la relazione

${\displaystyle p(x,f(x))=0}$

dove p (x, y) è un polinomio in x e y con coefficienti interi.

Si noti che un qualsiasi polinomio è una funzione algebrica, poiché i polinomi sono semplicemente le soluzioni per y dell'equazione

${\displaystyle y-p(x)=0.}$

Più in generale ogni funzione razionale è algebrica, essendo soluzione di

${\displaystyle q(x)y-p(x)=0\Rightarrow y={\frac {p(x)}{q(x)}}.}$

La radice n-esima di un qualunque polinomio è una funzione algebrica, poiché risolve l'equazione

${\displaystyle y^{n}-p(x)=0\Rightarrow y={\sqrt[{n}]{p(x)}}.}$

La funzione inversa di una funzione algebrica è una funzione algebrica. Si supponga che y sia una soluzione di

${\displaystyle a_{n}(x)y^{n}+\cdots +a_{0}(x),}$

per ogni valore di x, allora anche x è una soluzione di questa equazione per ogni valore di y. Infatti scambiando i ruoli di x e y e raccogliendo i termini,

${\displaystyle b_{m}(y)x^{m}+b_{m-1}(y)x^{m-1}+\cdots +b_{0}(y)=0.}$

si ottiene la funzione inversa, anch'essa algebrica, scrivendo x come funzione di y.

Comunque non tutte le funzioni hanno l'inversa. Per esempio, y = x² non ha inversa perché non è iniettiva. L'inversa è la funzione algebrica ${\displaystyle x=\pm {\sqrt {y}}}$. Questo è un esempio per capire come le funzioni algebriche, spesso, siano funzioni a più valori.

Un altro modo per capire questo punto, che diventerà importante in seguito, è che una funzione algebrica ha per grafico una curva algebrica.