Funzione esponenziale

In matematica, si definisce funzione esponenziale ogni funzione del tipo ${\displaystyle y=a^{x},}$ dove ${\displaystyle a}$ è un numero reale positivo diverso da 1 fissato e la variabile indipendente ${\displaystyle x}$ è reale e compare come esponente (da qui il nome).

Se ${\displaystyle a>1,}$ la funzione esponenziale è strettamente crescente. In particolare si dà il nome di "funzione esponenziale naturale" (o, sinteticamente, di "esponenziale" alla particolare funzione esponenziale ${\displaystyle y=e^{x}}$ (${\displaystyle e=2,7182\ldots ,}$ numero di Nepero).

Nel seguito della presente voce si farà riferimento, tranne quando altrimenti specificato, alla funzione esponenziale con base ${\displaystyle e,}$ peraltro rappresentata con la notazione ${\displaystyle \exp(x)}$ quando è difficoltoso scrivere la variabile come un esponente. L'importanza della base ${\displaystyle e}$ è motivata anche dal fatto che la derivata di questa funzione esponenziale è la funzione esponenziale stessa.

Riveste una grande importanza in moltissimi ambiti della matematica, come la trigonometria, lo studio delle equazioni differenziali, la teoria degli sviluppi di Taylor, lo studio delle trasformate integrali. Può essere definita, oltre che sui numeri reali, anche sui numeri complessi o anche su oggetti più complicati, come ad esempio le matrici quadrate oppure operatori. È inoltre la funzione inversa della funzione logaritmo (ovviamente la funzione esponenziale naturale è l'inversa della funzione logaritmo naturale, ossia quella con base ${\displaystyle e}$).