Polinomi ortogonali

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In matematica, una famiglia di polinomi ${\displaystyle p_{n}(x)}$ per ${\displaystyle n=0,1,2,\ldots ,}$ dove per ogni ${\displaystyle n}$ si ha un polinomio di grado ${\displaystyle n}$, si dice una sequenza di polinomi ortogonali nell'intervallo ${\displaystyle [a,b]}$ rispetto alla funzione peso ${\displaystyle w(x)}$ positiva nell'intervallo scelto se

${\displaystyle \int _{a}^{b}w(x)p_{n}(x)p_{m}(x)\,dx=0,\qquad \forall n,m=0,1,2,\dots ,\qquad {\mbox{con }}n\neq m.}$

Mentre i polinomi di una qualsiasi sequenza polinomiale possono essere considerati vettori di uno spazio vettoriale mutuamente linearmente indipendenti, i componenti di una sequenza di polinomi ortogonali si possono considerare vettori mutuamente ortogonali di uno spazio vettoriale con prodotto interno, quando si definisce questa funzione bilineare chiedendo che applicata a una qualsiasi coppia di polinomi ${\displaystyle p(x)}$ e ${\displaystyle q(x)}$ dia

${\displaystyle \int _{a}^{b}w(x)p(x)q(x)\,dx.}$

Esempi di successioni di polinomi ortogonali sono:

• I polinomi di Hermite ${\displaystyle H_{n}(x)}$ e ${\displaystyle He_{n}(x)}$, ortogonali rispetto alla distribuzione normale di probabilità.

• I polinomi di Čebyšëv di prima specie ${\displaystyle T_{n}(x)}$, ortogonali nell'intervallo ${\displaystyle [-1,1]}$ rispetto alla funzione peso ${\displaystyle w(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},\quad {\mbox{per }}-1<x<1.}$

• I polinomi di Čebyšëv di seconda specie ${\displaystyle U_{n}(x)}$, ortogonali nell'intervallo ${\displaystyle [-1,1]}$ rispetto alla funzione peso ${\displaystyle w(x)={\sqrt {1-x^{2}}},\quad {\mbox{per }}-1<x<1.}$

• I polinomi di Legendre, ortogonali nell'intervallo ${\displaystyle [-1,1]}$ rispetto alla distribuzione di probabilità uniforme.

• I polinomi di Gegenbauer, ortogonali nell'intervallo ${\displaystyle [-1,1]}$ rispetto alla distribuzione di probabilità ${\displaystyle (1-x^{2})^{\alpha -1/2}.}$

• I polinomi di Jacobi, ortogonali nell'intervallo ${\displaystyle [-1,1]}$ rispetto alla distribuzione di probabilità ${\displaystyle (1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }.}$

• I polinomi di Laguerre ${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)}$ con ${\displaystyle \alpha >-1}$, ortogonali nell'intervallo ${\displaystyle [0,+\infty )}$ rispetto alla distribuzione di probabilità ${\displaystyle x^{\alpha }e^{-x}.}$

Un'altra possibilità è definire un prodotto interno:

${\displaystyle (f_{n},f_{m})=\sum _{i=a}^{b}w(x_{i})f_{n}(x_{i})^{*}f_{m}(x_{i}),}$

dove gli ${\displaystyle x_{i}}$ sono numeri interi nell'intervallo ${\displaystyle [a,b]}$. Con questa definizione,

• i polinomi di Chebyshev sono ortogonali rispetto alla distribuzione ${\displaystyle w(x)=1}$ (con ${\displaystyle [a,b]=[0,N-1]}$);

• i polinomi di Charlier sono ortogonali rispetto alla distribuzione ${\displaystyle {\frac {e^{-u}u^{x}}{x!}}}$ (con ${\displaystyle [a,b]=[0,+\infty ]}$).

Esiste una classificazione dei polinomi ortogonali inventata dal matematico statunitense Richard Askey che utilizza le funzioni ipergeometriche.