Prodotto cartesiano

In matematica il prodotto cartesiano di due insiemi ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ è l'insieme delle coppie ordinate ${\displaystyle (a,b)}$ con ${\displaystyle a}$ in ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle b}$ in ${\displaystyle B}$. Formalmente:

${\displaystyle A\times B:=\{(a,b):a\in A\;\land \;b\in B\}.}$

Se ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ sono insiemi distinti, i prodotti ${\displaystyle A\times B}$ e ${\displaystyle B\times A}$ sono formalmente distinti, anche se sono in naturale corrispondenza biunivoca.

Il prodotto cartesiano può essere esteso alla composizione di ${\displaystyle n}$ insiemi considerando l'insieme delle ${\displaystyle n}$-uple ordinate:

${\displaystyle A_{1}\times A_{2}\times \cdots \times A_{n}:=\{(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}):a_{i}\in A_{i}\;\forall i=1,\ldots ,n\}.}$^[1]

Possiamo identificare in modo canonico ${\displaystyle A_{1}\times A_{2}\times \cdots \times A_{n}}$ con ${\displaystyle A_{1}\times (A_{2}\times \cdots \times A_{n})}$; in questo modo il prodotto cartesiano risulta naturalmente associativo.

Il prodotto cartesiano di ${\displaystyle n}$ copie di un insieme ${\displaystyle A}$ viene indicato con ${\displaystyle A^{n}}$ e può essere chiamato potenza cartesiana. Si osserva che questo insieme si può identificare con l'insieme delle funzioni dall'insieme ${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}}$ in ${\displaystyle A}$.