Superficie minima

In geometria differenziale, si definisce superficie minima (o, meno usato, superficie minimale, dall'inglese minimal surface) una superficie che ha curvatura media uguale a zero in ogni punto.

In natura esempi di superfici minime si possono ottenere immergendo nell'acqua saponata un telaietto di ferro di una qualunque forma chiusa: all'estrazione del telaio, la lamina di sapone che rimane attaccata ad esso rappresenta una superficie che ha curvatura media nulla ovunque [NECESSITA SPIEGAZIONE, SCRITTA COSÌ È GENERALMENTE SBAGLIATA: se il telaio ha la forma di una circonferenza e viene estratto mantenendo il piano della circonferenza parallelo al suolo, la superficie di sapone verrà minimamente piegata verso il basso a causa della gravità, non quindi producendo una superficie minima].

La teoria delle superfici minime è strettamente correlata ai problemi di area minima: date una o più curve chiuse nello spazio, trovare, tra tutte le superfici aventi le curve date come bordo, quella che ha area minima. La superficie soluzione del problema, oltre a minimizzare l'area, avrà anche curvatura media nulla ovunque, quindi sarà una superficie minima.

Non vale il viceversa, cioè non tutte le superfici minime aventi delle date curve chiuse nello spazio come bordo sono superfici che minimizzano l'area per il bordo assegnato.

I problemi matematici che traggono spunto da situazioni osservabili nella vita quotidiana sono tra i più antichi nella storia della matematica. Alcune fonti riportano che fu Archimede ad introdurre in geometria i concetti di lunghezza e area minima. Egli capì che la linea più corta che congiunge due punti nello spazio è la linea retta, e che data una qualunque curva chiusa piana, la superficie di area minima avente come bordo la curva data è proprio la parte di piano delimitata dalla curva stessa.

I problemi di area minima nei casi in cui siano date più curve chiuse nello spazio, oppure una sola curva non piana, sono più difficili da risolvere rispetto al caso particolare trattato da Archimede e rappresentano dei tipici problemi di quel ramo della matematica denominato calcolo delle variazioni.