Teorema dei seni

In trigonometria, il teorema dei seni (noto anche come teorema di Eulero) esprime una relazione di proporzionalità diretta fra le lunghezze dei lati di un triangolo e i seni dei rispettivi angoli opposti.

Si consideri il triangolo generico ABC rappresentato nella figura a lato, in cui gli angoli sono indicati da lettere greche minuscole e i lati opposti agli angoli dalle corrispondenti lettere latine minuscole.

${\displaystyle a={\overline {BC}},~~\alpha =C{\hat {A}}B}$

${\displaystyle b={\overline {AC}},~~\beta =A{\hat {B}}C}$

${\displaystyle c={\overline {AB}},~~\gamma =B{\hat {C}}A}$

Vale quindi

${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}={\frac {abc}{2S}}=2R}$

dove R è il raggio del cerchio circoscritto al triangolo ABC e

${\displaystyle S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}$

è l'area del triangolo ricavata dal semiperimetro p grazie alla formula di Erone.

La relazione di proporzionalità viene formulata a volte in questo modo:

${\displaystyle a:b:c=\sin \alpha :\sin \beta :\sin \gamma }$.