Teorema fondamentale dell'aritmetica

Il teorema fondamentale dell'aritmetica afferma che:

Ogni numero naturale maggiore di 1 o è un numero primo o si può esprimere come prodotto di numeri primi. Tale rappresentazione è unica, se si prescinde dall'ordine in cui compaiono i fattori.

L'enunciato è facilmente verificabile per numeri naturali "piccoli": è facile scoprire che ${\displaystyle 70}$ è pari a ${\displaystyle 2\times 5\times 7}$ e ${\displaystyle 100}$ equivale a ${\displaystyle 2\times 2\times 5\times 5}$ ovvero ${\displaystyle 2^{2}\times 5^{2}}$, ed è altrettanto facile verificare che per questi numeri non possono esistere altre scomposizioni in fattori primi.

Il teorema fu dimostrato per la prima volta, in un linguaggio matematico moderno, da Gauss nelle Disquisitiones Arithmeticae;^[1] Euclide, negli Elementi, insieme all'esistenza della fattorizzazione^[2], aveva dimostrato una proposizione, oggi nota come lemma di Euclide^[3], dalla quale si ricava la proprietà di fattorizzazione unica.

Nella teoria degli anelli, un analogo della proprietà espressa dal teorema costituisce la definizione stessa di anello a fattorizzazione unica.