Teoria assiomatica degli insiemi

La teoria assiomatica degli insiemi è una versione della teoria degli insiemi che definisce gli insiemi sulla base di alcuni assiomi, in modo tale da evitare i paradossi derivati dalla formulazione della teoria ingenua degli insiemi.

La teoria degli insiemi è una branca della matematica sviluppata principalmente dal matematico tedesco Georg Cantor alla fine del XIX secolo. Inizialmente controversa, la teoria degli insiemi è arrivata ad avere il ruolo di teoria fondamentale nella matematica moderna, nel senso di una teoria invocata per giustificare le assunzioni fatte riguardo all'esistenza degli oggetti matematici (come i numeri o le funzioni) e delle loro proprietà.

Le formulazioni formali della teoria degli insiemi hanno giocato anche un ruolo fondamentale nello specificare un ideale di rigore matematico nelle dimostrazioni. Mentre i concetti basilari della teoria degli insiemi sono usati ovunque in matematica, la teoria in sé è seguita come tema specialistico da un numero piccolo di matematici e logici. Si deve ricordare inoltre che ci sono matematici che usano e promuovono diversi approcci ai fondamenti della matematica.

I concetti basilari della teoria degli insiemi sono "insieme" e "appartenenza". Un insieme è pensato come una collezione di oggetti, chiamati elementi (o membri) dell'insieme. In matematica, gli elementi di un insieme sono oggetti matematici qualsiasi, e in particolare possono essere insiemi. Quindi si parla dell'insieme N dei numeri naturali { 0, 1, 2, 3, 4, ... }, dell'insieme dei numeri reali, e dell'insieme delle funzioni che associano numeri naturali a numeri naturali; ma anche, ad esempio, dell'insieme { 0, 2, N } che ha come elementi i numeri 0 e 2 e l'insieme N.

Inizialmente fu sviluppata quella che ora è chiamata teoria "ingenua" o "intuitiva" degli insiemi (vedi teoria ingenua degli insiemi). Si scoprì che lasciando la possibilità di eseguire qualsiasi operazione sugli insiemi si arrivava a paradossi (come il paradosso di Russell). Per affrontare questi problemi si dovette ricostruire la teoria degli insiemi, questa volta con un approccio assiomatico. Un esempio di teoria degli insiemi assiomatica è la teoria di Zermelo-Fraenkel.