Logarytm

Na tę stronę wskazuje przekierowanie z „lg”. Zobacz też: LG.

Logarytm (łac. [now.] logarithmus – stosunek, z gr. λόγ- log-, od λόγος logos – zasada, rozum, słowo, i ἀριθμός árithmós – liczba) – dla danych liczb ${\displaystyle a,b>0,\;a\neq 1}$ liczba oznaczana ${\displaystyle \log _{a}b}$ będąca rozwiązaniem równania ${\displaystyle a^{x}=b.}$ Taka definicja logarytmu została zdefiniowana przez Eulera^[1]. Liczba ${\displaystyle a}$ nazywana jest podstawą (zasadą) logarytmu, liczba ${\displaystyle b}$ liczbą logarytmowaną (niekiedy antylogarytmem swojego logarytmu, patrz: antylogarytm). Jest to więc wykładnik potęgi, do jakiej należy podnieść podstawę ${\displaystyle a,}$ aby otrzymać liczbę logarytmowaną ${\displaystyle b}$^[2].

Przykłady

${\displaystyle \log _{2}8=3,}$ gdyż ${\displaystyle 2^{3}=8,}$

${\displaystyle \log _{10}10000=4,}$ gdyż ${\displaystyle 10^{4}=10000.}$

Logarytmy po raz pierwszy opisali w XVI wieku matematycy brytyjscy: Szkot John Napier i Anglik Henry Briggs. Były odpowiedzią na konieczność wykonywania żmudnych i czasochłonnych obliczeń w związku z burzliwie rozwijającymi się wówczas astronomią, nawigacją i handlem. Natomiast Euler był pierwszym matematykiem, kóry przedstawił logarytmy liczb zespolonych^[3]. Historycznie praca Eulera na ten temat była pierwszą analizą funkcji przestępnej więcej niż jednej zmiennej^[3].

Pozwalały zastąpić mnożenia, dzielenie, pierwiastkowanie na łatwiejsze odpowiednio dodawanie, odejmowanie i dzielenie przez liczbę naturalną. Tablice logarytmiczne i suwaki logarytmiczne stały się podstawową pomocą we wszelkich obliczeniach naukowych, astronomicznych, geodezyjnych i inżynierskich. Współcześnie, z powodu wyparcia ich przez kalkulatory i komputery, ich użytkowa rola jest dużo mniejsza.

Logarytm przy ustalonej podstawie ${\displaystyle a>0,a\neq 1}$ pozwala zdefiniować funkcję logarytmiczną ${\displaystyle f_{a}\colon \mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} }$ następująco:

${\displaystyle f_{a}\colon x\mapsto f_{a}(x)=\log _{a}x.}$