Desigualdade de Minkowski

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Em teoria da medida e integraçao, a Desigualdade de Minkowski permite definir uma estrutura de espaço vetorial normado em L^p .

Seja ${\displaystyle S}$ um espaço normado, ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty \,}$ e ${\displaystyle f\,}$ e ${\displaystyle g\,}$ elementos de ${\displaystyle L^{p}(S)\,}$. Então ${\displaystyle f+g\,}$ é um elemento de ${\displaystyle L^{p}(S)\,}$, e temos a Desigualdade de Minkowski:

${\displaystyle \left\|f+g\right\|_{p}\leq \left\|f\right\|_{p}+\left\|g\right\|_{p}.}$

A igualdade irá acontecer somente no caso de ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ serem linearmente dependentes.

A Desigualdade de Minkowski é o análogo de uma desigualdade triangular em ${\displaystyle L^{p}(S)\,}$.

Assim como a Desigualdade de Hölder, a desigualdade de Minkowski pode ser estabelecida para sequências e vetores usando a Norma ${\displaystyle \ell ^{p}}$:

${\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}+y_{k}|^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{p}\right)^{1/p}}$

onde ${\displaystyle x_{1},\cdots ,\ x_{n},\ y_{1},\cdots ,\ y_{n}}$ são números reais (ou números complexos) e ${\displaystyle n}$ é a cardinalidade de ${\displaystyle S}$.