Evolvente

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Na geometria diferencial de curvas, uma evolvente é uma curva obtida de outra dada curva anexando a esta um cordão tenso imaginário e traçando um ponto da corda ao enrolá-la na curva; ou, ao contrário, ao desenrolá-la. É uma rolete na qual a curva rolante é uma linha reta contendo o ponto gerador. Por exemplo, uma evolvente é aproximadamente o caminho seguido por um espirobol quando a corda de ligação é enrolada no poste. Se o poste tem seção transversal circular, então a curva descrita pela bola é uma evolvente do círculo.

Alternativamente, outra forma de construir a evolvente de uma curva é substituir a corda esticada por um segmento de reta que é tangente à curva em uma extremidade, enquanto a outra extremidade traça a evolvente. O comprimento do segmento de reta é alterado pelo mesmo comprimento de arco que é percorrido sobre a curva quando o ponto tangente move-se ao longo da curva.

A evoluta de uma evolvente é a curva original, subtraidas as porções de curvatura zero ou indefinida. Ver as ilustrações evoluta e evolvente.

Se a função ${\displaystyle r:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}$ é uma parametrização natural da curva (i.e. ${\displaystyle |r^{\prime }(s)|=1}$ para todo s), então :${\displaystyle s\mapsto r(s)-sr^{\prime }(s)}$ parametriza a evolvente.